(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2),
y cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy).
Existe además un vector, el (0,0), llamado vector nulo que cumple que al sumarse con cualquier otro vector no lo altera. Todo vector, por ejemplo el (1, 0), tiene su opuesto, el (-1, 0), que sumados dan como resultante el vector nulo (0, 0).
La noción de espacio vectorial es una generalización de esta idea. Es más general de varias maneras: en primer lugar, en lugar de los números reales otros cuerpos, como los números complejos o los cuerpos finitos, se permiten. En segundo lugar, la dimensión del espacio, que es de dos en el ejemplo anterior, puede ser arbitraria, incluso infinita. Otro punto de vista conceptual importante es que los elementos de los espacios vectoriales no suelen estar expresados como combinaciones lineales de un conjunto de vectores, es decir, no hay preferencia de representar el vector (x, y ) como
(x, y) = x · (1, 0) + y · (0, 1)
o como
(x, y) = (−1/3·x + 2/3·y) · (−1, 1) + (1/3·x + 1/3·y) · (2, 1)
Definición
La definición de un espacio vectorial requiere de un cuerpo de escalares K (como el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos). Un espacio vectorial es un conjunto V (no vacío) a cuyos elementos se llaman vectores, dotado de dos operaciones:
suma de vectores: cualquiera dos vectores v y w pueden sumarse para obtener un tercer vector v + w
producto por un escalar: cualquier vector v puede multiplicarse por un escalar, i.e. un elemento de K, a. El producto se denota como av.
que satisfacen las siguientes propiedades o axiomas (u, v, w son vectores arbitrarios de V, y a, b son escalares, respectivamente):
Propiedad asociativa de la suma
u + (v + w) = (u + v) + w
Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto a la suma de vectores
a (v + w) = a v + a w
(a + b) v = a v + b v
1 v = v, donde 1 es la identidad multiplicativa en K
(x, y) + (0, 0) = (x, y),
(a + b) · (x, y) = a · (x, y) + b · (x, y).