3.2. Operaciones con matrices.

Suma o adición

Dadas las matrices m-por-n A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo:

Propiedades

• Asociativa

Dadas las matrices m×n A, B y C

A + (B + C) = (A + B) + C

• Conmutativa

Dadas las matrices m×n A y B

A + B = B + A

• Existencia de matriz cero o matriz nula

A + 0 = 0 + A = A

• Existencia de matriz opuesta

con -A = [-a_ij]

A + (-A) = 0

Producto

El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m×n y B es una matrizn×p, entonces su producto matricial AB es la matriz m×p (m filas, p columnas) dada por:

para cada par i y j.

Por ejemplo:

Propiedades

Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades:

• Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC).
• Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC.
• Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB.
• En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si A.B = 0 , No necesariamente A ó B son matrices nulas
• El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación: Si A.B = A.C, No necesariamente B=C

El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a lasmatrices cuadradas.

Producto por un escalar

Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ).

Ejemplo

Propiedades

Sean A y B matrices y c y d escalares.

• Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.
• Asociatividad: (cd)A = c(dA)
• Elemento Neutro: 1·A = A
• Distributividad:
  • De escalar: c(A+B) = cA+cB
  • De matriz: (c+d)A = cA+dA