miércoles, 28 de octubre de 2009

4.4.- Base y dimensión de un espacio vectorial

Las bases revelan la estructura de los espacios vectoriales de una manera concisa. Una base es el menor conjunto (finito o infinito) B = {vi}i ∈ I de vectores que generan todo el espacio. Esto significa que cualquier vector v puede ser expresado como una suma (llamada combinación lineal) de elementos de la base
a1vi1 + a2vi2 + ... + anvin,
donde los ak son escalares y vik (k = 1, ..., n) elementos de la base B. La minimalidad, por otro lado, se hace formal por el concepto de
independencia lineal. Un conjunto de vectores se dice que es linealmente independiente si ninguno de sus elementos puede ser expresado como una combinación lineal de los restantes. Equivalentemente, una ecuación
a1vi1 + ai2v2 + ... + anvin = 0
sólo se consigue si todos los escalares a1, ..., an son iguales a cero. Por definición cada vector puede ser expresado como una suma finita de los elementos de la base. Debido a la independencia lineal este tipo de representación es única. Los espacios vectoriales a veces se introducen desde este punto de vista.
Todo espacio vectorial tiene una base. Este hecho se basa en el lema de Zorn, una formulación equivalente del axioma de elección. Habida cuenta de los otros axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, la existencia de bases es equivalente al axioma de elección. El ultrafilter lemma, que es más débil que el axioma de elección, implica que todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo "tamaño", es decir, cardinalidad. A ésta, se le llama la dimensión del espacio vectorial, representada por dim V. Si el espacio es generado por un número finito de vectores, todo lo anterior puede demostrarse sin necesidad de acudir a la teoría de conjuntos.
La dimensión de un espacio de coordenadas Fn es n, pues cualquier vector (x1, x2, ..., xn) puede expresarse de forma única como combinación lineal de n vectores (llamados vectores coordenadas) e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), a en = (0, 0, ..., 0, 1), es decir, la suma
x1e1 + x2e2 + ... + xnen,
La dimensión de los espacios de funciones, como por ejemplo el espacio de funciones definidas en algún intervalo acotado o no, es infinita. Bajo unas adecuadas asunciones de regularidad de los coeficientes involucrados, la dimensión del espacio de soluciones de una ecuación diferencial ordinaria homogénea es igual al grado de la ecuación. Por ejemplo, la ecuación anterior tiene grado 2. El espacio de soluciones está generado por ex y xex (que son linealmente independientes en R), por lo que la dimensión de este espacio es dos.
La dimension (o grado) de una extensión como por ejemplo Q(z) sobre Q depende de si z es o no algebraico, i.e. satisface una cierta ecuación polinomial
qnzn + qn−1zn−1 + ... + q0 = 0, con coeficientes racionales qn, ..., q0.
Si es algebraico, la dimensión es finita. Es más, es igual al grado del
polinomio mínimo del que z es raíz. Por ejemplo,el conjunto de los números complejos es un espacio vectorial bidimensional sobre los números reales, generado por 1 y la unidad imaginaria i. Ésta última cumple i2 + 1 = 0, una ecuación de grado dos. Si z no es algebraico, la dimensión es infinita. Así, para z = π no existe dicha ecuación, pues π es trascendente.

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